SPLTV
Sistem persamaan linear tiga variabel terdiri dari beberapa buah persamaan linear dengan tiga variabel. Bentuk umum dari persamaan linear tiga variabel adalah sebagai berikut.
ax + by + cz = d
a, b, c, dan d merupakan bilangan real, tapi a, b, dan c tidak boleh semuanya 0. Persamaan tersebut memiliki banyak solusi. Salah satu solusi dapat diperoleh dengan mengumpamakan sembarang nilai pada dua variabel untuk menentukan nilai variabel ketiga.
Sebuah nilai (x, y, z) merupakan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel jika nilai (x, y, z) memenuhi ketiga persamaan yang ada di dalam SPLTV. Himpunan penyelesaian SPLTV dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu metode substitusi dan metode eliminasi.
Penyelesaian soal SPLTV dengan metode substitusi
1. Dengan menggunakan metode subtitusi, tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel (SPLTV) berikut ini.
x + y – z = –3
x+ 2y + z = 7
2x + y + z = 4
Jawab: Pertama, kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan yang ada, persamaan pertama lebih sederhana. Dari persamaan pertama, nyatakan variabel x sebagai fungsi y dan z sebagai berikut.
⇒ x + y – z = –3
⇒ x = –3 – y + z
■ Subtitusikan peubah x ke dalam persamaan kedua
⇒ x + 2y + z = 7
⇒ (–3 – y + z) + 2y + z = 7
⇒ –3 + y + 2z = 7
⇒ y + 2z = 7 + 3
⇒ y + 2z = 10 ……………….. Pers. (3)
■ Subtitusikan variabel x ke dalam persamaan ketiga
⇒ 2x + y + z = 4
⇒ 2(–3 – y + z) + y + z = 4
⇒ –6 – 2y + 2z + y + z = 4
⇒ –y + 3z = 4 + 6
⇒ –y + 3z = 10 ……………….. Pers. (4)
■ Persamaan (3) dan (4) membentuk SPLDV y dan z:
y + 2z = 10
–y + 3z = 10
■ Selanjutnya kita selesaikan SPLDV tersebut dengan metode subtitusi. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana yaitu persamaan pertama. Dari persamaan pertama, kita peroleh
⇒ y + 2z = 10
⇒ y = 10 – 2z
■ Subtitusikan peubah y ke dalam persamaan kedua
⇒ –y + 3z = 10
⇒ –(10 – 2z) + 3z = 10
⇒ –10 + 2z + 3z = 10
⇒ –10 + 5z = 10
⇒ 5z = 10 + 10
⇒ 5z = 20
⇒ z = 4
■ Subtitusikan nilai z = 4 ke salah satu SPLDV, misal y + 2z = 10 sehingga kita peroleh
⇒ y + 2z = 10
⇒ y + 2(4) = 10
⇒ y + 8 = 10
⇒ y = 10 – 8
⇒ y = 2
■ Selanjutnya, subtitusikan nilai y = 2 dan z = 4 ke salah satu SPLTV, misal x + 2y + z = 7 sehingga kita peroleh
⇒ x + 2y + z = 7
⇒ x + 2(2) + 4 = 7
⇒ x + 4 + 4 = 7
⇒ x + 8 = 7
⇒ x = 7 – 8
⇒ x = –1
Dengan demikian, kita peroleh nilai x = –1, y = 2 dan z = 4. Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas adalah {(–1, 2, 4)}.
Penyelesaian soal SPLTV dengan metode eliminasi
2. Dengan menggunakan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut ini.
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y – 2z = 12
x + y + 4z = 20
Jawab:
Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah x sehingga kita akan mengeliminasi x terlebih dulu. Untuk menghilangkan variabel x, maka kita harus samakan koefisien masing-masing x dari ketiga persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.
x + 3y + 2z = 16 → koefisien x = 1
2x + 4y – 2z = 12 → koefisien x = 2
x + y + 4z = 20 → koefisien x = 1
Agar ketiga koefisien x sama, maka kita kalikan persamaan pertama dan persamaan ketiga dengan 2 sedangkan persamaan kedua kita kalikan 1. Prosesnya adalah sebagai berikut.
x + 3y + 2z = 16 |× 2|→2x + 6y + 4z=32
2x + 4y – 2z=12 |× 1|→2x + 4y – 2z=12
x + y + 4z=20 |× 2|→2x + 2y + 8z= 40
Setelah koefisien x ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel x hilang. Prosesnya seperti di bawah ini.
■ Dari persamaan pertama dan kedua:
2x + 6y + 4z=32
2x + 4y – 2z=12
—————————— ¯
2y + 6z = 20
■ Dari persamaan kedua dan ketiga:
2x + 4y – 2z=12
2x + 2y + 8z=40
—————————— ¯
2y – 10z = –28
Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.
2y + 6z = 20
2y – 10z = –28
Langkah selanjutnya adalah kita selesaikan SPLDV di atas dengan metode eliminasi. Pertama, kita tentukan nilai y dengan mengeliminasi z. Untuk dapat mengeliminasi variabel z, maka kita harus menyamakan koefisien z dari kedua persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.
2y + 6z = 20 → koefisien z = 6
2y – 10z = –28 → koefisien z = –10
Agar kedua koefisien z sama, maka persamaan pertama kita kali dengan 5 sedangkan persamaan kedua kita kali dengan 3. Setelah itu, kedua persamaan kita jumlahkan. Prosesnya adalah sebagai berikut
2y + 6z=20|× 5|→10y + 30z=100
2y – 10z=–28|× 3|→6y – 30z=–84
________________ +
16y =16
y=1
Kedua, kita tentukan nilai z dengan mengeliminasi y. Untuk dapat mengeliminasi variabel y, maka kita juga harus menyamakan koefisien y dari kedua persamaan. Berhubung koefisien y kedua persamaan sudah sama, maka kita bisa langsung mengurangkan kedua persamaan tersebut. Prosesnya adalah sebagai berikut.
2y + 6z=20
2y – 10z=–28
_______________ -
6z=48
z=3
Sampai pada tahap ini kita sudah memperoleh nilai y = 1 dan z = 3. Langkah terakhir, untuk mendapatkan nilai x, kita subtitusikan nilai y dan z tersebut ke dalam salah satu SPLTV, misalnya persamaan x + y + 4z = 20 sehingga kita peroleh:
⇒ x + y + 4z = 20
⇒ x + 1 + 4(3) = 20
⇒ x + 1 + 12 = 20
⇒ x + 13 = 20
⇒ x = 20 – 13
⇒ x = 7
Dengan demikian kita peroleh nilai x = 7, y = 1 dan z = 3 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(7, 1, 3)}.
Penyelesaian SPLTV dengan metode determinan
Contoh soal :
2x + y + z = 12
x + 2y - z = 3
3x - y + z = 11
Tentukan nilai x, y, z!
Jawab
Langkah pertama kita ubah persamaan diatas menjadi sebuah matr iks 3 x 3
Langkah 1
Ambil koefisien yang di depan variabel x,y,z lalu susun menjadi tiga baris dan tiga kolom seperti berikut
Langkah 2
Ambil variabel, x , y, z susun dalam satu kolom. Lalu nilai persamaannya juga dibuat dalam satu kolom
Langkah ke-3
Menentukan nilai Determinan D dengan cara menambahkan kolom 1 dan 2 ke sebelah kanan. Lalu buat tanda panah dengan arah diagonal ke kanan lalu dikurangkan dengan diagonal kiri.
Langkah-4
Menentukan Determinan x (Dx) caranya dengan mengganti kolom 1 dengan nilai persamaannya lalu lakukan seperti mencari nilai D tadi.
Setelah didapat nilai Dx lalu cari nilai x dengan cara membagi Dx /D
Langkah 5
Lakukan hal yang sama untuk menentukan nilai y. Tukar kolom ke-2 ganti dengan nilai persamaan nya.
Lakukan penyelesaian seperti cara pertama, kalikan nilai yang ada pada diagonal yang sama. Lalu kurangkan dengan nilai yang berlawanan arah diagonal ya.
Nilai y didapat dengan cara membagi Dy / D
Langkah 6
Untuk mencari nilai z langkah yang dilakukan sama halnya dengan ketika mencari nilai x dan y. Tukar kolom ke-3 menjadi nilai persamaan lalu kalikan ke arah diagonal yang sama.
Nilai x, y, dan z sudah didapatkan
X = Dx /D = -27/-9 = 3
Y = Dy / D. = -18/-9 = 2
Z = Dz / D. = 72/-9 = -8
Nirinna Afliyah Nisrin. 2021. Jakarta. SPLTV
Sumber :
Matematika.blogspot.com
Komentar
Posting Komentar