Sistem persamaan linear kuadrat

Secara umum, bentuk dari sistem persamaan ini memuat sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat. Atau dapat dinyatakan sebagai berikut

y = ax + b

y = px2 + qx + r

dengan a, b, p, q, r, x, dan y adalah bilangan real dengan p ¹ 0

Soal No. 1

Diberikan dua buah persamaan yaitu persamaan linear dua variable dan kuadrat sebagai berikut:

(i) y = 2x + 3

(ii) y = x2 − 4x + 8

Tentukan himpunan penyelesaian (Hp) dari kedua persamaan tersebut di atas!

Pembahasan

Substitusikan y dari persamaan (i) ke y pada persamaan (ii), atau sebaliknya dari (ii) ke (i), lanjutkan dengan operasi aljabar.

x2 − 4x + 8 = 2x + 3

x2 − 4x + 8 − 2x − 3 = 0

x2 − 6x + 5 = 0

Berikutnya faktorkan:

x2 − 6x + 5 = 0

(x − 1)(x − 5) = 0

Dapatkan nilai x yang pertama:

x − 1 = 0

x = 1

Dapatkan nilai x yang kedua:

x − 5 = 0

x = 5

Berikutnya mencari nilai-nilai dari y dengan substitusi nilai x ke persamaan (i):

Untuk x = 1 maka

y = 2x + 3

y = 2(1) + 3

y = 2 + 3

y = 5

Dari sini didapatkan pasangan (x, y) yaitu (1, 5)

Untuk x = 5 maka

y = 2x + 3

y = 2(5) + 3

y = 10 + 3

y = 13

Dari sini didapatkan pasangan (x, y) yaitu (5, 13)

Sehingga himpunan penyelesaiannya Hp :{(1, 5), (5, 13)}

Jika lupa bagaimana cara memfaktorkan, bisa dibaca lagi.

Soal No. 2

Diberikan dua buah persamaan sebagai berikut:

(i) y = 5x + 4

(ii) y = x2 + 13x − 16

Pembahasan

x2 + 13x − 16 = 5x + 4

x2 + 13x − 16 − 5x − 4 = 0

x2 + 8x − 20 = 0

(x + 10)(x − 2) = 0

Nilai x yang pertama

x + 10 = 0

x = − 10

Nilai x yang kedua

x − 2 = 0

x = 2

Nilai-nilai y, dari persamaan pertama:

Untuk x = − 10 didapat nilai y

y = 5x + 4

y = 5(−10) + 4 = − 46

Untuk x = 2, didapat nilai y

y = 5x + 4

y = 5(2) + 4 = 14

Hp : {(− 10, − 46), (2, 14)}

Bagaimana jika SPLK bagian kuadratnya mengandung bentuk implisit yang dapat difaktorkan? Seperti contoh berikutnya.

Soal No. 3

Diberikan dua buah persamaan sebagai berikut:

(i) x − y = 5

(ii) x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan di atas!

Pembahasan

(i) x − y = 5

(ii) x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0

Terlebih dahulu faktorkan persamaan kuadratnya, ada beberapa cara untuk memfaktorkan bentuk “kuadrat dalam kuadrat” seperti bentuk di atas, salah satunya sebagai berikut:

Ingat kembali bentuk ax2 + bc + c = 0 . Jika diterapkan pada persamaan (ii) maka didapat nilai a, b dan c sebagai berikut:

x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0

a = 1

b = − 6y

c = 9y2 − 9

Sehingga:

x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0

(x − 3y − 3)(x − 3y + 3) = 0

Dari pemfaktoran ini kita dapat dua persamaan baru yaitu:

x − 3y − 3 = 0 …..(iii)

x − 3y + 3 = 0 …..(iv)

Dari persamaan (ii) dan (iii)

x − y = 5

x − 3y = 3

_________ _

2y = 2

y = 1

x − y = 5

x − 1 = 5

x = 6

Dari persamaan (ii) dan (iv)

x − y = 5

x − 3y = − 3

___________ _

2y = 8

y = 4

x − y = 5

x − 4 = 5

x = 9

Sehingga penyelesaiannya adalah {(6, 1), (9, 4)}

Sumber : matematikastudycenter.com

madematika.net