Persamaan dan pertidaksamaan irasional

 A. Definisi Persamaan Irasional

Persamaan irasional adalah persamaan yang variabelnya berada di bawah tanda akar dan tidak dapat ditarik keluar tanda akar. Untuk semesta bilangan real, persamaan irasional terdefinisi jika komponen yang memuat variabel di bawah tanda akar bernilai lebih dari atau sama dengan nol.

Ciri dari persamaan dan pertidaksamaan irasional adalah terdapat variabel atau peubah (x) yang berada dalam tanda akar. Contoh persamaan irasional sebagai berikut:

√ x – 1 = x + 1

x + 5 = √ x2 + 4

Sedangkan ciri pertidaksamaan irasional sama seperti persamaan irasional tetapi menggunakan notasi <, >, ≤, atau ≥. Langkah-langkah menyelesaikan soal persamaan dan pertidaksamaan irasional sebagai berikut:

Tentukan syarat untuk persamaan atau pertidaksamaan irasional. Syarat ini bertujuan untuk menghindari akar negatif karena akar negatif akan menghasilkan bilangan imajiner.

Kuadratkan kedua ruas persamaan atau pertidaksamaan irasional. Tujuan mengkuadratkan adalah untuk menghilangkan tanda akar.

Tentukan interval yang sesuai dengan syarat yang sudah ditentukan.

Untuk lebih jelaskan perhatikan contoh soal persamaan dan pertidaksamaan irasional dibawah ini.

Contoh soal persamaan irasional

Contoh soal 1

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan irasional √ x – 1 = x – 3

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal 1 kita tentukan dahulu syarat agar persamaan irasional berlaku yaitu:

x – 1 ≥ 0 atau x ≥ 1.

x – 3 ≥0 atau x ≥ 3.

Ambil syarat yang terbesar sehingga syarat yang berlaku pada persamaan irasional soal nomor 1 adalah x ≥ 3.

Selanjutnya kita hilangkan tanda akar dengan cara mengkuadratkan kedua ruas persamaan seperti dibawah ini:

( √ x – 1 )2 = (x – 3)2

(x – 1) = x2 – 6x + 9

x2 – 6x – x + 9 + 1 = 0

x2 – 7x + 10 = 0

(x – 2) (x – 5) = 0

x = 2 atau x = 5

Karena syarat yang berlaku pada persamaan nomor 1 adalah x ≥ 3 maka nilai x yang memenuhi adalah x = 5. Jadi soal nomor 1 jawabannya adalah x = 5.

Untuk memeriksa apakah jawaban ini benar atau salah maka caranya cukup mudah yaitu dengan subtitusi x = 5 ke persamaan irasional nomor 1:

√ x – 1 = x – 3

√ 5 – 1 = 5 – 3

√ 4 = 2

2 = 2

Kita lihat jawabannya sesuai.

Jika x = 2 kita subtitusi ke persamaan maka hasilnya sebagai berikut:

√ 2 – 1 = 2 – 3

1 = – 1.

Kita lihat hasilnya tidak sesuai.

Contoh soal pertidaksamaan irasional

Contoh soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional √ x – 5 < 2.

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita tentukan terlebih dahulu syarat agar pertidaksamaan irasional berlaku yaitu:

x – 5 ≥ 0

x ≥ 5

Selanjutnya kita kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan irasional sehingga didapat:

(√ x – 5 )2 < 22.

x – 5 < 4

x < 4 + 5 atau x < 9

Lalu kita buat garis bilangan untuk menentukan irisan antara syarat x ≥ 5 dan x < 9.

Berdasarkan gambar diatas maka himpunan pertidaksamaan irasional nomor 1 adalah 5 ≤ x < 9.

Sumber : soalfismat.com