Soal persamaan dan pertidaksamaan rasional dan irasional

 Contoh soal persamaan rasional

Contoh soal 3

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan rasional berikut.

Penyelesaian soal

Cara menjawab soal nomor 3 kita jumlahkan ruas kiri sehingga diperoleh:

→ 

x – 3 + (x – 2)

x – 1

 = 4

→ 

2x – 5

x – 1

 = 4

→ 2x – 5 = 4 (x – 1)

→ 2x – 5 = 4x – 4

→ 4x – 2x = -5 + 4

→ 2x = -1

→ x = -1/2

Contoh soal pertidaksamaan rasional

Contoh soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan rasional 

x2 – 4x + 4

x + 1

 ≺ 0

Penyelesaian soal

Pembilang pada soal diatas kita faktorkan sehingga bentuk soal menjadi:

(x – 2) (x – 2)

x + 1

Syarat yang berlaku pertidaksamaan diatas adalah adalah x + 1 ≠ 0 atau x ≠ -1.

Selanjutnya kita tentukan pembuat nol sebagai berikut:

(x – 2) (x – 2) = 0 maka diperoleh x = 2.

x + 1 = 0 maka x = – 1

Selanjutnya kita buat garis bilangan sebagai berikut:

Untuk x > 2 kita ambil angka 3 lalu subtitusi ke x2 – 4x + 4/x + 1 maka diperoleh 32 – 4 . 3 + 4/3 + 1 = + 1/4. Jadi tanda garis bilangan setelah 2 adalah positif.

Untuk interval -1 < x < 2 kita angka nol lalu subtitusi seperti poin diatas sehingga didapat 02 – 4 . 0 + 4/0 + 1) = + 4. Jadi tanda garis bilangan diantara – 1 hingga 2 adalah negatif.

Untuk interval x < -1 kita ambil angka -2 lalu subtitusi seperti 2 poin diatas maka hasilnya – 8. Jadi tanda garis bilangan sebelum -1 adalah negatif. Jika digambarkan seperti dibawah ini.

Jadi interval yang memenuhi adalah x < – 1.

Contoh soal persamaan irasional

Contoh soal 1

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan irasional √ x – 1 = x – 3

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal 1 kita tentukan dahulu syarat agar persamaan irasional berlaku yaitu:

x – 1 ≥ 0 atau x ≥ 1.

x – 3 ≥0 atau x ≥ 3.

Ambil syarat yang terbesar sehingga syarat yang berlaku pada persamaan irasional soal nomor 1 adalah x ≥ 3.

Selanjutnya kita hilangkan tanda akar dengan cara mengkuadratkan kedua ruas persamaan seperti dibawah ini:

( √ x – 1 )2 = (x – 3)2

(x – 1) = x2 – 6x + 9

x2 – 6x – x + 9 + 1 = 0

x2 – 7x + 10 = 0

(x – 2) (x – 5) = 0

x = 2 atau x = 5

Karena syarat yang berlaku pada persamaan nomor 1 adalah x ≥ 3 maka nilai x yang memenuhi adalah x = 5. Jadi soal nomor 1 jawabannya adalah x = 5.

Untuk memeriksa apakah jawaban ini benar atau salah maka caranya cukup mudah yaitu dengan subtitusi x = 5 ke persamaan irasional nomor 1:

√ x – 1 = x – 3

√ 5 – 1 = 5 – 3

√ 4 = 2

2 = 2

Kita lihat jawabannya sesuai.

Jika x = 2 kita subtitusi ke persamaan maka hasilnya sebagai berikut:

√ 2 – 1 = 2 – 3

1 = – 1.

Kita lihat hasilnya tidak sesuai.

Contoh soal pertidaksamaan irasional

Contoh soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional √ x – 1 > 2

Penyelesaian soal

Syarat yang berlaku pada pertidaksamaan irasional diatas sebagai berikut:

x – 1 ≥ 0.

x ≥ 1.

Kemudian kita kuadratkan pertidaksamaan diatas sehingga didapat:

( √ x – 1 )2 > 22

x – 1 > 4

x > 4 + 1

x > 5

Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan ini adalah x > 5.

Contoh soal 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional √ 16 – x2 ≤ x + 4.

Penyelesaian soal

Syarat pertidaksamaan irasional:

16 – x2 ≥ 0.

x2 – 16 ≤ 0.

(x – 4)(x + 4) ≤ 0.

x = 4 dan x = -4

-4 ≤ x ≤ 4

Kemudian kita kuadratkan pertidaksamaan seperti dibawah ini:

( √ 16 – x2 )2 ≤ (x + 4)2

16 – x2 ≤ x2 + 8x + 16

16 – x2 – x2 – 8x – 16 ≤ 0

-2x2 – 8x ≤ 0

2x2 + 8x > 0

2x (x + 4) > 0

x ≤ – 4 dan x ≥ 0

Lalu kita buat garis bilangan antara syarat dengan hasil diatas sebagai berikut:

Jadi berdasarkan gambar diatas maka himpunan penyelesaian soal nomor 2 adalah x = -4 dan 0 ≤ x ≤ 4.

Sumber : soalfismat.com